Золотое Сечение

30 апреля 2011

С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления - Золотого Сечения... Их (древних греков) систему космических пропорций нередко в литературе изображают как курьезный результат безудержной и дикой фантазии. В такого рода объяснениях сквозит антинаучная беспомощность тех, кто это заявляет. Однако понять данный историко-эстетический феномен можно только в связи с целостным пониманием истории, то есть, используя диалектико-материалистическое представление о культуре и ища ответа в особенностях античного общественного бытия.
Алексей Лосев
Божественная пропорция
Божественная пропорция

Красота - это Божественная Пропорция

Что такое красота? Что такое гармония? Некоторые из вас задавались такими вопросами, возможно кто-то нашел для себя ответ или какое-то определение. А вот в театре, и в первую очередь в драматическом искусстве, что есть прекрасное? В чем заключается театральное искусство драмы? Здесь я поставлю в тупик даже самых образованных и искушенных людей. Как говорится, я не волшебник - только учусь, и не смогу дать всеобъемлющий ответ, но постараюсь дать читателям несколько интересных мыслей. Считаю, что красота - это есть пропорция! Наука о прекрасном - это наука о соразмерности, согласовании, отношении частей между собою и к их целому, или соотношение разных величин между собою. Вершина Красоты - Божественная Пропорция, которая основана на принципе Золотого Сечения - это основание Вселенской Гармонии. Все в мире подчиненно строгим вечным законам мироздания, от Метагалактики и до квантового микромира: как наверху - так и внизу, как внутри - так и снаружи. Но эти вечные принципы Гармонии Природы пока остаются вне нашего понимания и глубокого осмысления. Максимум что мы слышали о Золотом Сечении и Числах Фибоначчи - это что их успешно применяют в архитектуре и живописи, в статических искусствах. А как же другие области науки, искусства, поэзии, философии, техники? Без прорыва в области знания о Принципе Гармонии, никакой научно-технический и социальный прогресс для человечества невозможен! Я глубоко интересуюсь теорией драмы, и многие размышления приводят в эту тему. А вот что по этому поводу говорит Стахов А. П. в статье "Золотое Сечение и глобальная «фибоначчизация» современной науки":
  • Гармония царит во всем мире, она является упорядочивающим и творческим началом всей Природы и Космоса.
  • Вся Природа – это целесообразно и гармонично устроенное целое. Отдельные вещи и явления в Природе существуют как часть целого, как момент в общей системе гармонии. 
  • "Математическая Гармония" является объективным и всеобщим свойством Мироздания в целом и любой ее части в отдельности. Все структуры природы стремятся к "гармоничному", то есть "оптимальному" (с некоторой точки зрения) состоянию.
Красота, пропорции, женское тело
Красота и пропорции женского тела
Природа распорядилась в строении человеческого тела следующими пропорциями: Длина четырёх пальцев равна длине ладони. Четыре ладони равны стопе. Шесть ладоней составляют один локоть. Четыре локтя - рост человека. Четыре локтя равны шагу, а двадцать четыре ладони равны росту человека. Если вы расставите ноги так, чтобы расстояние между ними равнялось 1/14 человеческого роста, и поднимите руки таким образом, чтобы средние пальцы оказались на уровне макушки, то центральной точкой тела, равноудаленной от всех конечностей, будет ваш пупок. Пространство между расставленными ногами и полом образует равносторонний треугольник. Длина вытянутых рук будет равна росту. Расстояние от корней волос до кончика подбородка равно одной десятой человеческого роста. Расстояние от верхней части груди до макушки составляет 1/6 роста. Расстояние же от верхней части груди до корней волос - 1/7.Расстояние от сосков до макушки составляет ровно четверть роста. Наибольшая ширина плеч - восьмая часть роста. Расстояние от локтя до кончиков пальцев - 1/5 роста, от локтя до подмышечной ямки - 1/8.Длина всей руки - это 1/10 роста. Начало гениталий находится как раз посредине тела. Стопа - 1/7 часть роста. Расстояние от мыска ноги до коленной чашечки равно четверти роста, а расстояние от коленной чашечки до начала гениталий также равно четверти роста. Расстояние от кончика подбородка до носа и от корней волос до бровей будет одинаково и, подобно длине уха, равно 1/3 лица.
Античный римский архитектор Витрувий (Vitruvius)
Золотое сечение, Леонардо да Винчи, Витрувианский человек
Золотое сечение в рисунке Леонардо да Винчи "Витрувианский человек"

Золотое сечение везде и во всем...

Думаю, вначале стоит привести популярное объяснение наиболее простых вопросов, разобраться с матчастью:

Золотое сечение - гармоническая пропорция
В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d. Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами: на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС; на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют); таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС. Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.
Геометрическое изображение, золотая пропорция
Геометрическое изображение золотой пропорции

Второе золотое сечение
Второе Золотое сечение вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56. Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата. Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.
Построение, второе золотое сечение
Построение второго золотого сечения

Золотой треугольник
Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.  Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
Построение, правильный, пятиугольник, пентаграмма
Построение правильного пятиугольника и пентаграммы
Золотое сечение, пропорция, картина, Андрей Рублев, Святая Троица
Золотое сечение и пропорция в картине Андрея Рублева "Святая Троица"

Ряд Фибоначчи
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

Обобщенное золотое сечение
Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором – это сумма двух предыдущх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через φS (n), то получим общую формулу φS (n) = φS (n – 1) + φS (n – S – 1). Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 – ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи. В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения x(S+1) – x(S – 1) = 0. Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 – знакомое классическое золотое сечение. Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи. С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами.
Пропорции, мужчины, человеческое тело
Пропорции (мужского) человеческого тела

Принципы формообразования в природе
Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.  Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.
Спираль Архимеда, сечение
Спираль Архимеда

Золотое сечение и симметрия
Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии. Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.
Божественная пропорция, скульптуры, статуя
Божественная пропорция в скульптурах и статуях

Источник: Виктор Лаврус "Золотое сечение", "НиТ" 15.03.2000г., http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm

Динамическая симметрия и гармоничные системы

Ранее я предположил такую теорию драмы, которая объединяет в себя диалектику и квантовую механику. Тем поразительнее для меня было прочитать следующие статьи, вырезки из которых привожу ниже:
Учёным из Центра материалов и энергии Гельмгольца в Берлине (Helmholtz-Zentrum Berlin fur Materialien und Energie, HZB, Германия) в сотрудничестве с коллегами из Оксфордского и Бристольского университетов, а также лаборатории Резерфорда и Эпплтона (Великобритания), впервые удалось наблюдать наносимметрию, скрытую в твердом состоянии материи. Они измерили характерные черты симметрии, показав ее характерное сходство с золотым сечением, известным по живописи и архитектуре.
Частицы в атомном масштабе ведут себя иначе, чем привычные нам объекты в макроатомном мире. Новые свойства вытекают из такого эффекта, как принцип неопределенности Гейзенберга. Ради изучения этих наноскопических квантовых эффектов ученые обратили внимание на такое обладающее магнитными свойствами вещество, как ниобат кобальта. Его атомы объединяются в намагниченные цепочки наподобие стержневых магнитов толщиной всего в один атом, служа весьма полезной моделью для описания ферромагнетизма в твердой материи и в наномасштабе.
Приложив под определенным углом магнитное поле к выстроенным спинам, можно добиться перехода магнитной цепочки в новое состояние — так называемое квантовое критическое. Профессор Алан Теннант (Alan Tennant), руководитель берлинской группы, объясняет: «Система достигает квантовой неопределенности — состояния кота Шредингера. Вот этого мы добиваемся в наших экспериментах с ниобатом кобальта. Мы подстраиваем систему так, чтобы ввести ее в квантовое критическое состояние».
Искусственно вызвав состояние квантовой неопределенности, ученые смогли наблюдать, что цепочка атомов ведет себя подобно наноскопической гитарной струне. Доктор Раду Колди (Radu Coldea) из Оксфордского университета, являющийся ведущим автором работы и руководивший международным проектом от его старта десять лет назад до настоящего дня, говорит: «Натяжение появляется благодаря взаимодействию между спинами, приводящему к магнитному резонансу. Для этих взаимодействий мы нашли серии („гаммы“) резонансных тонов. Первые два тона находятся в прекрасном соотношении друг с другом. Их частоты (или „высоты“) находятся в соотношении 1,618... — это и есть золотое сечение, известное по живописи и архитектуре». Раду Колди убежден, что это не совпадение. «Оно отражает чудесное свойство квантовых систем — скрытую симметрию. На самом деле, математики уже давно подобрали подходящую симметрию — так называемую группу Ли E8 — и это первое ее наблюдение в веществе», пишет он.
Наблюдаемые резонансные состояния в ниобате кобальта представляют собой замечательную проявление того, как математические теории, разработанные изначально для физики частиц, находят себе применение в нанонауке и, в конечном счете, в технологиях будущего. Профессор Теннант особо подчеркивает важность открытия совершенной гармонии в квантовой неопределенности — вместо хаоса. «Подобные открытия подводят ученых к мысли о том, что мир в квантовых масштабах тоже может подчиняться какому-то лежащему в основе всего порядку. И другие подобные открытия могут ждать ученых при исследовании веществ в квантовом критическом состоянии».

"Золотое сечение в квантовом мире" электронное издание «Наука и технологии России» 16.02.10
http://www.strf.ru/material.aspx?CatalogId=222&d_no=27618


И вот, самое главное, что имеет непосредственное отношение к драме:
Исследования белорусского философа Эдуарда Сороко, несомненно, имеют фундаментальное, я бы даже сказал, «стратегическое» значение для развития современной науки и философии. Главная идея Сороко состоит в том, чтобы рассмотреть реальные системы с «диалектической точки зрения». Как известно, всякий объект природы может быть представлен как диалектическое единство двух противоположных сторон A и B. Это диалектическая связь может быть выражена в следующем виде: A + B = U (universum)  (10), где А и В – стороны диалектического противоречия.
Равенство (10) является наиболее общей формой выражения так называемого закона сохранения, применимого ко всем системам. Здесь А и В — различия внутри единства, логически непересекающиеся классы или состояния субстрата некоторого целого. Единственное условие: А и В должны измеряться одной и той же мерой, быть членами отношения, лежащего внутри единства. Примерами (10) могут быть вероятность и невероятность событий, масса и энергия, ядро атома и его оболочка, вещество и поле, анод и катод, животные и растения, духовное и материальное начала в системе ценностей, доход и расход и т.д.
.......................
Рассмотрим процесс самоорганизации системы. Он сводится к переходу системы в состояние гармонического равновесия. Можно высказать предположение, что для каждой самоогранизующейся системы существует некоторое соотношение, пропорция между сторонами A и B диалектического противоречия (10) в состоянии гармонического равновесия. Это соотношение имеет строго регулярный характер и является причиной стабильности системы.
Эдуард Сороко выдвигает гипотезу о том, что стороны «диалектического противоречия» (10) в «гармонической» системе должны подчиняться «Принципу кратных отношений», который широко распространен в науке.
.......................
Эдуард Сороко формулирует «закон структурной гармонии систем», сущность которого сводится к следующему: «Обобщенные золотые сечения суть инварианты, на основе и посредством которых в процессе самоорганизации естественные системы обретают гармоничное строение, стационарный режим существования, структурно-функциональную... устойчивость».
В чем же принципиальная особенность «Закона Сороко»? Начиная с Пифагора, ученые связывали понятие гармонии с единственной золотой пропорцией. «Закон Сороко» утверждает, что гармоничное состояние системы, соответствующее классической золотой пропорции, не является единственным и что для одной и той же системы может существовать бесконечное количество «гармоничных» состояний, соответствующих обобщенным золотым пропорциям tр – или обратным к ним числам bр.
Сороко приводит в своей книге «Структурная гармония систем» (1984) ряд интересных примеров из различных областей науки, демонстрирующих действие своего закона. В качестве примера Сороко приводят так называемые «бинарные сплавы». Как подчеркивает Сороко, «хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивость в термическом отношении, твердость, хрупкость, износоустойчивость, устойчивость к окислению и т.д.) лишь в том случае, если удельные веса входящих в них конкрементов составляют одну из пропорций, в которых легко узнать числа уже известного нам ряда: 38,2:61,8; 31,8:68,2; 27,5:72, 5 и т.д.»
А как быть, если сплав (или система) состоит из нескольких компонентов. В этом случае Сороко предлагает обратиться к понятию «энтропии», которое является интегральной характеристикой любой системы.
В соответствии с «законом структурной гармонии систем» в состоянии «гармонического» равновесия ее относительная энтропия должна равняться одному из чисел b р, то есть для каждой «гармоничной» системы должно выполняться следующее равенство (20):
.......................
Следует заметить, что «Закон Сороко» не дает однозначного решения проблемы «гармонического» состояния системы. Таких состояний теоретически бесконечно много. Главное, чтобы «веса» компонентов сошлись таким образом, чтобы энтропия системы стала бы равной одному из чисел b р. Если, например, кто-либо занимается созданием сверхпрочного материала (например, для зубных пломб), то, используя «Закон Сороко», можно найти несколько «оптимальных» наборов для «весов» компонентов этого материала, а затем среди них выбрать тот, который удовлетворяет нас с некоторой другой точки зрения, например, минимизирует стоимость материала.
А теперь рассмотрим еще одну идею Эдуардо Сороки, изложенную в его книге «Структурная гармония систем». Пусть некоторая система в процессе самоорганизации пришла в «гармоническому» состоянию, соответствующему классическому «золотому сечению» b 1 = 0,618. Но в соответствии с «Законом Сороко» число «гармонических» состояний системы довольно велико, а теоретически даже бесконечно. Можно предположить, что в ходе своего развития в процессе обмена и соответственно притока (или оттока) питающего систему субстрата «веса» компонентов системы могут изменяться, что может привести к нарушению «гармонического» состояния b 1 = 0,618, то есть система может перейти в «дисгармоническое» состояние, когда энтропия системы не удовлетворяет тождеству (20). В этом случае свойства системы резко ухудшаются. Но в процессе дальнейшего развития система может прийти к новому «гармоническому» состоянию, соответствующего инварианту b 2 = 0,682. В этом состоянии свойства системы вновь восстанавливаются. В дальнейшем система может выйти из «гармонического» состояния b 2 = 0,682 и через новое «дисгармоническое» состояние может перейти в новое «гармоническое» состояние, соответствующему «инварианту» b 3 = 0,724. Таким образом, в процессе развития и самоорганизации свойства системы периодически самовосстанавливаются. Не это ли явление наблюдал Сергей Сухонос, исследуя «масштабный эффект»? Действительно, в процессе эксперимента изменялись некоторые параметры исследуемого объекта, что приводило к изменению его энтропии. И это не могло не сказаться на свойствах объекта, который в процессе эксперимента то терял прочностные свойства, то восстанавливал их. И, по-видимому, изучая свойство периодичности «масштабного эффекта», мы не имеем права пренебрегать «Законом Сороко».

Стахов А.П. "Закон структурной гармонии систем" Эдуарда Сороко.
http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02320026.htm

Какой из всей этой информации можно сделать вывод?
Современная теория симметрии еще более диалектична. Эта теория сильно связана с законом единства и борьбы противоположностей, и в первую очередь с такими категориями диалектики, как тождество и различие. Кроме того, просматривается связь и с другими категориями, такими как необходимость и случайность, причина и следствие, форма и содержание, система и элемент, элемент и структура, целое и часть.
Новые шаги в развитии теории симметрии происходили благодаря признанию равенства неравного, тождественности нетождественного. При этом логическим оправданием такого признания служило существование операций, превращающих эти нетождественные объекты друг в друга. А сами эти шаги были сделаны благодаря признанию существования различия и нетождественности внутри тождественного.
Яркой чертой этой линии развития теории симметрии является то, что постепенное расширение понятия равенства привело к постепенному расширению круга рассматриваемых преобразований и, наоборот, постепенное расширение круга рассматриваемых преобразований вызвало соответствующее изменение состава инвариантных свойств объекта. При этом понятие "преобразование" постепенно расширялось до понятия "изменение". В основу современной теории симметрии положено такое понятие о равенстве, при котором считаются равными все такие объекты, которые могут быть сделаны неотличимыми друг от друга по сравниваемым признакам посредством некоторых изменений.
При этом в современной теории симметрии в качестве взаимно равных стали приниматься и такие объекты, которые с обыденной точки зрения рассматриваются как заведомо существенно неравные. Причем, обнаруженные новые операции отождествления не являются простой перефразировкой уже известных фактов, т.к. каждый раз введение новой операции отождествления позволяло получить новые данные, которые невозможно было получить от простой суперпозиции ранее известных операций отождествления.
Обобщенное понимание равенства имеет большое методологическое значение, ибо позволяет думать, что существует не несколько десятков равенств, принятых сейчас в теории симметрии, а бесконечное число их. Это позволяет вводить в теорию самые различные, самые "сумасшедшие" равенства, если вместе с ними одновременно вводятся и соответствующие операции отождествления. В этом смысле проблема появления новых разделов теории симметрии теперь становится чуть ли не тривиальным делом, т.к. снимается покров таинственности с самого сложного вопроса учения о симметрии - вопроса о равенстве.
Итак, в процессе познания происходит процесс все большего отождествления различных объектов, что, вероятно, является одной из форм отражения единства Мира и всеобщей связи явлений и одной из форм познания этого единства и этой связи.
В литературе можно встретить разные определения понятия симметрии, более или менее абстрактные, акцентирующие внимание на тех или других сторонах этого явления. Для наших дальнейших целей достаточно будет привести следующее определение (авт. Урманцев Ю.А.): Симметрия - это категория обозначающая признаки объектов вместе с такими изменениями, которые оставляют эти объекты тождественными самим себе по этим признакам. Иначе говоря: Симметрия - это категория, обозначающая инвариантность признаков объектов относительно некоторых изменений.

http://quarkon.ru/symmetry.htm
И в заключение, приведу пример, когда принцип золотого сечения был успешно применен в кинематографе - это фильм Сергея Эйзенштейна "Броненосец Потемкин". На самом деле, таких примеров много и в музыке, и поэзии, - они есть и в театре! Мои исследования в этой области только начинаются. Я полон надежд и ожиданий. В этой публикации я хотел лишь показать направление своих поисков прекрасного в театральной науке. Продолжение, конечно, следует...


лягушка поделитесь кнопка Поделитесь ссылкой:

4 ответы :

Хозяин Лягушатника
Знаете, что это? И встречали ли вы это в театре?
Nina
Смотрела на предложенную вами последовательность чисел Фибоначчи и угол дивергенции и не могла все никак понять, что вы этим хотели сказать. В природе эти числа встречаются довольно часто (здесь неплохой ролик про это http://snotr.ru/4250.html), а вот в театре?
PS: Спасибо вам за Платона, как-то вдохновило:)
Хозяин Лягушатника
Любая красота имеет в своем основании строгие законы. Без соблюдения этих природных законов любое искусство, в т.ч. и театр, выглядит ущербно и безобразно.
Хозяин Лягушатника
обновлено

Отправить комментарий